เซต




ความหมายของเซต

ในทางคณิตศาสตร์ เราใช้คำว่าเซตในความหมายของคำว่า กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง ฝูง ชุด และเมื่อกล่างถึงเซตของสิ่งใด ๆ จะทราบได้ทันทีว่าในเซตนั้นมีอะไรบ้าง เราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก

ตัวอย่าง

เซต สมาชิกของเซตประกอบด้วย
เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ วันอาทิตย์, วันจันทร์, วันอังคาร, วันพุธ, วันพฤหัสบดี, วันศุกร์, วันเสาร์
เซตของจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 5 ลงตัว 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...
เซตของคำตอบของสมการ X2 - 4 = 0 2, -2

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซต ชื่อและสมาชิกของเซต
1.สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตต่าง ๆ ได้
2.ชื่อเซตนิยมใช้ตัวใหญ่ทั้งหมด เช่น A, B, C, ...
3.สัญลักษณ์  แทนคำว่า "เป็นสมาชิกของ"
แทนคำว่า "ไม่เป็นสมาชิกของ"
การเขียนเซต
นอกจากจะเขียนวงกลมหรือวงรีล้อมรอบสมาชิกทั้งหมดของเซตแล้ว เรายังมีวิธีเขียนเซตได้อีก 2 วิธี ดังนี้
1) วิธีแจกแจงสมาชิก (Tubular form) มีหลักการเขียน ดังนี้
1.เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปีกกา
2.สมาชิกแต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค (,)
3.สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียว
4.ในกรณีที่จำนวนสมาชิกมาก ๆ ให้เขียนสมาชิกอย่างน้อย 3 ตัวแรก แล้วใช้จุด 3 จุด (Tripple dot) แล้วจึงเขียนสมาชิกตัวสุดท้าย
2) วิธีบอกเงื่อนไขของสมาชิก (Set builder form) หลักการเขียนมีดังนี้
1.เขียนเซตด้วยวงเล็บปีกกา
2.กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วยเครื่องหมาย | (| อ่านว่า "โดยที")่ แล้วตามด้วยเงื่อนไขของตัวแปรนั้น ดังรูปแบบ {x | เงื่อนไขของ x}
เซต แบบแจกแจงสมาชิก แบบบอกเงื่อนไข
A เป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่า 5 A = {1, 2, 3, 4} A = {x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่า 5}
B เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ B = {วันอาทิตย์, วันจันทร์, วันอังคาร, วันพุธ, วันพฤหัสบดี, วันศุกร์, วันเสาร์} B = {x | x เป็นชื่อวันในหนึ่งสัปดาห์}
C เป็นเซตของตัวอักษรในภาษาอังกฤษ C = {a, b, c, ... ,z} C = {y | y เป็นตัวอักษรในภาษาอังกฤษ}
ลักษณะของเซต 
เซตว่าง (Empty Set) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกเลย เขียนแทนด้วย { } หรือ  (phi) เช่น 
-เซตของจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กัน 2
-เซตของสระในคำว่า "อรวรรณ" 
 
เซตจำกัด (Finite Set)  คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวนเต็มบวก หรือ ศูนย์ เช่น
-มีจำนวนสมาชิกเป็น 0
-{1, 2, 3, ...,100} มีจำนวนสมาชิกเป็น 100 
 
เซตอนันต์ (Infinite Set)  คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้ เช่น
-เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, ...}
-เซตของจุดบนระนาบ 
 ความสัมพันธ์ของเซต 
1. เซตที่เท่ากัน (Equal Sets)  คือ เซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อเซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน
สัญลักษณ์ เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย A = B
เซต A ไม่เท่ากับ เซต B แทนด้วย A ≠ B 
 
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 2, 3, 4, 3, 2, 5, 5, 5} 		เซต A มีสมาชิกเหมือนกับเซต B A = B
C = {a, e, i, o, u}
D = {i, o, u, e, o} 		เซต C มีสมาชิกเหมือนกับเซต D C = D
E = {0, 1, 3, 5}
F = {x | x ≠ I+, x < 6} 		เซต E มีสมาชิก 4 ตัว คือ 0, 1, 3, 5 แต่เซต F มีสมาชิก 5 ตัว คือ 1, 2, 3, 4, 5 E ≠ F
G = {สีแดง, สีน้ำเงิน, สีขาว}
H = {สีแดง, สีน้ำเงิน, สีเหลือง} 		สีขาว ≠ G แต่ สีขาว ≠ H G ≠ H
 
2. เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalentl Sets)  คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และสมาชิกของเซตจับคู่กันได้พอดีแบบหนึ่งต่อหนึ่ง
สัญลักษณ์ เซต A เทียบเท่ากับ เซต B แทนด้วย A ↔ B 
หมายเหตุ  1. ถ้า A = B แล้ว A ↔ B
2. ถ้า A ↔ B แล้ว ไม่อาจสรุปได้ว่า A = B 
สับเซต
การที่เซต A จะเป็นสับเซตของเซต B ได้นั้นสมาชิกทุกตัวของเซต A จะต้องเป็นสมาชิกของเซต B
สัญลักษณ์ เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A c B
เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ¢ B 

ตัวอย่าง


 
A = {1, 2}     B = {2, 3}
C = {1, 2, 3}     D = {1, 2, 3, 4} 		A ¢ B, A c C, A c D
B ¢ A, B c C, B c D
C ¢ A, C ¢ B, C c D
D¢  A, D ¢ B, D ¢ C

หมายเหตุ  1. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง (A c A)
2. เซตว่าง เป็นสับเซตของทุก ๆ เซต (Φ c A)
3. ถ้า A c Φ  แล้ว A =
4. ถ้า A c B และ B c C แล้ว A c C
5. A = B ก็ต่อเมื่อ A c B และ B c A
 เพาเวอร์เซต
ถ้า A เป็นเซตใด ๆ เพาเวอร์ของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P(A)
ตัวอย่าง


 
เซต A P(A)
     Φ  {Φ}
{a} {Φ, {a}}
{a, b} {Φ, {a}, {b}, {a, b}}
{a, b, c} {Φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

 
 เอกภพสัมพัทธ์
เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ถูกกำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะกล่าวถึงสิ่งที่เป็นสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นใดที่ไม่เป็นสมาชิกของเซตนี้ โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ υ แทนเซตที่เป็นเอกภพสัมพัทธ์
ตัวอย่าง
 A เป็นเซตของจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่า 5 สมาชิกในเซต A ต้องเลือกมาจากเซตของจำนวนนับเท่านั้น ซึ่งได้แก่ 1, 2, 3, 4 ดังนั้น เซตของจำนวนนับทั้งหมดเป็นเอกภพสัมพัทธ์ หรือ
υ คือเซตของจำนวนนับ
B เป็นเซตของจำนวนเต็มที่เป็นคำตอบ
ของสมการ (2x - 1)(x + 4) = 0 		สมาชิกของ B ต้องเลือกมาจากเซตจำนวนเต็มเท่านั้น ซึ่งได้แก่ -4 ดังนั้น
เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดจึงเป็นเอกภพสัมพัทธ์ หรือ
υ  คือเซตของจำนวนเต็ม
 
หมายเหตุ ในเรื่องที่เกี่ยวข้องกับระบบจำนวน ถ้าไม่ระบุแน่ชัดว่าเชตใดเป็นเอกภพสัมพัทธ์ ให้หมายถึงเซตของจำนวนจริงเป็นเอกภพสัมพัทธ์เสมอ
 ปฏิบัติการระหว่างเซต
ปฏิบัติการระหว่างเซต คือ การนำเซตต่าง ๆ มากระทำกันเพื่อให้เกิดเป็นเซตใหม่ได้ ซึ่งทำได้ 4 วิธี คือ
1. ยูเนียน (Union) ยูเนียนของเซต A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A หรือ B
เขียนแทนด้วย A υ B 
2.  อินเตอร์เซคชัน (Intersection) อินเตอร์เซคชันของเซต A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A และ B
เขียนแทนด้วย A ∩ B 
3. คอมพลีเมนต์ (Complement) คอมพลีเมนต์ของเซต A คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A
เขียนแทนด้วย A' 
4.  ผลต่างของเซต (Difference) ผลต่างของเซต A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B
เขียนแทนด้วย A - B
สัญลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนต่างๆที่ควรทราบ

 
สัญลักษณ์ ความหมาย
N เซตของจำนวนนับ
I+ เซตของจำนวนเต็มบวก (จำนวนนับ)
I- เซตของจำนวนเต็มลบ
I เซตของจำนวนเต็ม
Q เซตของจำนวนตรรกยะ
Q' เซตของจำนวนอตรรกยะ
R+ เซตของจำนวนจริงบวก
R- เซตของจำนวนจริงลบ
R เซตของจำนวนจริง


ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น

สมัครสมาชิก: บทความ (Atom)